Почему в горах холодно, если холодный воздух стремится вниз?

Воздух прозрачен и практически не нагревается солнечными лучами. Тепло он получает от поверхности Земли. Нагретый воздух поднимается вверх и при этом расширяется из-за снижения давления, что приводит к охлаждению (адиабатический процесс). Это первая причина понижения температуры с высотой.

Вторая -- это наличие в воздухе водяного пара и углекислого газа, обладающих значительным поглощением в ИК области спектра (и большей излучательной способностью). Плотность их снижается с высотой (особенно водяного пара -- так как он конденсируется при снижении температуры), а значит, воздух "вверх" более прозрачен для инфракрасного излучения, чем "вниз". Тепловое излучение от поверхности Земли (или нижележащего слоя воздуха) полностью поглощается относительно тонким (несколько метров) слоем воздуха. А вот сверху -- атмосфера прозрачная. И тем более прозрачная, чем выше мы находимся. А значит, тепловое излучение рассматриваемого слоя воздуха уходит вверх беспрепятственно, охлаждая его, и это охлаждение не компенсируется излучением сверху, которое слабее. Из-за снижения роли этого механизма по причине почти полного исчезновения водяного пара (главного ИК поглотителя-излучате­ля в воздухе) на высотах больше 12 км, начиная с этой высоты резко падает градиент температуры и прекращается конвекционное перемешивание атмосферы -- мы оказываемся в стратосфере.

На больших высотах, однако, температура начинает расти. Причиной этого является то, что в эти слои заходит та часть солнечного излучения, что поглощается в атмосфере. Это жесткий ультрафиолет. На высотах около 30 км поглощение УФ излучения атмосферным озоном разогревает воздух с -60°С до нулевой отметки. Далее с ростом высоты и снижением плотности, а значит и поглощающей способности, температура снова падает (вплоть до -100°С) до тех пор, пока мы не оказываемся в зоне, куда доходит излучение, способное разорвать молекулу кислорода на два отдельных атома. Этот процесс также сопровождается интенсивным поглощением света, а рекомбинация атомов в молекулы -- выделением тепла, и воздух (если можно так назвать среду, миллионократно менее плотную, чем вакуум в радиолампе) снова разогревается, на этот раз до чудовищных температур в полторы тысячи градусов.

Холодный воздух стремится вниз в пределах комнаты. Ну или в сопоставимых по размерам объёмах. Ведь стремится вниз он не потому, что холодный, а потому, что с понижением температуры и при неизменном давлении у него увеличивается плотность.

Но плотность меняется и с высотой. Никого ж не удивляет, что давление в горах намного меньше, чем на уровне моря. И понижение температуры компенсируется понижением давления. Поэтому горный воздух, даже и холодный, не стремится вниз.

Но это всё не отменяет вопроса - а почему вообще с высотой, по фигу есть тут горы или нет, температура воздуха падает?

Объяснение "на пальцах" элементарное: это следствие закона сохранения энергии. Потому что чтоб подняться, нужно затратить энергию. А тратить энергию молекулы воздуха могут только ту, которая у них есть собственная, связанная с их тепловым движением. Если представить, что молекула у нас вообще одна-одинёшенька, то она, да, может взлететь высоко - но потом неизбежно упадёт. Как любой подкинутый камень. Средняя скорость молекул воздуха примерно 500 м/с, так что в отсутствие атмосферы такой скорости хватит на то, чтоб подняться всего-то на 12,7 км.

Поскольку молекула у нас не одна, а целый пятый океан молекул, они как-то меж собой распределяются по скоростям и энергиям, но вот это соображение, что на подъём вверх надо затратить энергию, которую неоткуда взять, кроме как из самого себе (обмениваясь энергией с другими молекулами), и приводит к тому, что с высотой средняя энергия молекул всё меньше и меньше. А температура и есть мера средней энергии молекул.

В горах с увеличением высоты уменьшается плотность воздуха и давление также падает. Внизу днем солнце греет, и воздух это тепло долго сохраняется. А в горах в условиях низкого давления и разреженного воздуха тепло, полученное днем, таким воздухом сохраняется плохо.

Потому что сам воздух разряжен, это убирает эфыект сдерживающей подушки, молекулярно, при дефиците некоторых элементов, путь наименьшего сопротивления открывается наверх а не в низ.