Базис в пространстве и на плоскости. Разложение вектора по базису, как?

Если на пальцах, то за базис можно принять такой набор векторов, каждый из которых невозможно представить линейной комбинацией других (предполагается, что любознательный отрок в курсе, что такое линейная комбинация векторов). На плоскости максимальное число вектором в таком наборе - 2, в пространстве - 3 (нетрудно заметить, что это число совпадает с размерностью пространства; на самом деле наоборот - это размерность пространства принимают равной числу векторов базиса).

"Разложить вектор по базису" означает представить данный вектор в виде линейной комбинации векторов базиса, или, иными словами, найти такие коэффициента аᵪ, аᵧ и т. д. (число коэффициентов равно размерности пространства, или, что то же самое, числу векторов базиса), что данный вектор К равен сумме произведений векторов базиса на соответствующий коэффициент aᵢ.

На практике (да и в теории тоже) чаще всего применяется ортонормированный базис. "Ортонормированность­" означает, что вектора базиса имеют единичную длину и перпендикулярны друг другу.