Есть ли практические результаты несчетности вещественных чисел?
В математике множества натуральных и вещественных чисел имеют разную мощность (алеф-ноль и алеф-один).
Это как-то проявляется в практических разделах математики или в физике?
Ответы (4):
Могу добавить за Белодедовым.
В 16 веке два итальянских математика, Кардано и Феррари, нашли способы решения уравнений 3 и 4 степеней.
То есть выразить корни через формулы в радикалах.
В 18 веке Руффини доказал, что уравнения степени 5 и выше в общем случае неразрешимы в радикалах.
В 19 веке Абель нашёл в этом доказательстве неточности и исправил их. Теперь эта теорема называется теоремой Абеля-Руффини.
Это означает, что существуют иррациональные числа, которые вообще нельзя представить никаким нагромождением никаких радикалов любой степени.
Их можно представить только двумя способами: или приближенно, или указать уравнение и сказать, что это число есть корень этого уравнения.
Конкретно про практическое применение мощности множеств.
Древние греки начали изучать иррациональные числа, когда построили диагональ квадрата и внезапно поняли, что её нельзя измерить, то есть выразить как часть длины стороны этого квадрата.
То есть длина диагонали квадрата не входит во множество рациональных чисел.
А потом Архимед экспериментировал с правильным 96-угольником, сделал переход к окружности и получил число Пи, как отношение длины окружности к её диаметру. Выяснилось, что Пи можно представить только приближенно.
Его нельзя представить ни как дробь, ни в радикалах любой степени из любого числа, ни как корень никакого уравнения с рациональными коэффициентами.
Такие числа назвали трансцендентным, что значит "нельзя понять умом".
Второе известное трансцендентное число - е, основание натуральных логарифмов,было получено уже в средние века.
Очень много следствий. Ну, например, что все числа отрезка 0..1 нельзя пронумеровать. Или - что существуют числа (на самом деле среди всех чисел их - подавляющее большинство), которые нельзя выразить конечным набором натуральных чисел. И поэтому не надо удивляться, что числа pi (=3,141592653589793...) или sqrt(2) (=1,4142...) можно выразить только приближённо.
Сказать напрямую, где используется в других науках (или в разделах математики) понятие разной мощности вещественных и натуральных чисел вероятно трудно..
Но если косвенно, то множество натуральных чисел дискретно, тогда как множество действительных чисел не прерывно..
Сейчас очень сильно развивается раздел дискретной математики и её приложений в технике (понятно почему), кроме того есть понятие дискретной топологии, которая тоже сильно развивается..