Задача. Сколько кружек воды налили в чашу?
В ванной растворили в 125 литрах воды 25 кг поваренной соли. Затем на полученный раствор положили полусферическую стеклянную чашу диаметром 300 мм, толщиной стенки 4мм. В чашу литровой кружкой стали лить воду до тех пор, пока она не утонула.
Плотность: воды -1 г/мл, стекла – 2492 кг/м³.
Плотность раствора (г/мл) соли:
- 10% - 1,0707;
- 12% - 1.0857;
- 14% - 1,1009;
- 16% - 1,1162;
- 18% - 1,1319;
- 20% - 1,1478.
Ответы (2):
Считаем, что 300 мм (30 см) - это наружный диаметр чаши, тогда внутренний - 292 мм (29,2 см).
Концентрация рассола 25/(25+125)=0,1(6) или 16,(6) %.
Интерполяцией определяем что плотность рассола 1,1224 г/мл.
Плотность стекла 2,492 г/см^3.
Погружение считаем идеальным, т.е. край чаши всё время остаётся горизонтальным. Моментом начала погружения будем считать состояние, когда край чаши сравняется с уровнем воды (без учёта возможного образования мениска).
Объём вытесненного рассола равен (Пи/12)*30^3=7068,6 см^3,
Выталкивающая сила (сила Архимеда) равна 7068,6*1,1224=7926,7 г.
Объём самой чаши (объём стекла) равен (Пи/12)*(30^3-29,2^3)=550,5 см^3,
Масса самой чаши равна 550,5*2,492=1371,9 г.
Масса налитой воды 7926,7-1371,9=6554,8 г.
Значит объём налитой в чашу воды равен 6554,8/1=6554,8 мл.
В чашу успели налить 6 кружек. Во время наливания седьмой кружки чаша утонула.
Авторское решение задачи.
Объем чаши (общий) (Пи/12)*30³=7068,58 см³.
Объем воды, вмещающийся в чашу (Пи/12)*29,2³= 6518,04 см³.
Объём самой чаши (стекла) 7068,6 см³ - 6518,0 см³ = 550,54 см³.
Масса самой чаши (стекла) 550,54*2,492= 1371,95 г.
Средняя плотность чаши наполненной водой (1371,95+6518,04)/7068,58= 1,1162 г/мл.
Концентрация рассола в ванной 25/(25+125)=0,1(6) или 16,(6) %. Согласно таблице, его плотность несколько выше средней плотности чаши с водой, следовательно, наполненная до верха чаша не утонет. Придется продолжать лить воду в чашу, которая будет переливаться за ее пределы, до снижения плотности рассола 1,1162 г/мл, т. е. достижения концентрации 16%. Только тогда чаша потеряет плавучесть и утонет. Вычислим, сколько потребуется на это воды, количество которой обозначим через х. Составим уравнение 0,16=25/(25+125+х). Откуда х=25/0,16-125-25=6,25 (л)
В результате, с учетом воды содержащейся в чаше, общий объем ее составит 6,25+6,52=12,77 л.
В итоге в чашу надобно вылить 13 кружек воды.