По каким орбитам могут двигаться космические аппараты?

В общем случае - по очень сложным. Но так как общий случай стараются не рассматривать, то берут движение под действием сил тяготения 1 центрального тела (спутник Земли у Земли, спутник Луны у Луны, спутник Солнца у Солнца и т.д.), а остальные тела "не учитываются". Тогда уравнения достаточно легко решаются и сводятся к траекториям конических сечений. Их всего варианта: эллипс (и частный случай окружность), парабола и гипербола (правда есть еще и точка и прямая, но они совсем вырожденные случаи). В зависимости от скорости спутник находится на одной из траекторий. Все что эллипс - это круговая орбита, Гипербола - траектория ухода.

А если начать учитывать движение в поле 2 тел, то все усложняется на порядки. И появляются всякие точки Лагранжа и прочие экзотические траектории.

Удивительный факт: космос такой большой и бескрайний. Но движение материального тела по прямой в нем большая редкость. Скорее как некое приближение или математическая модель, чем как факт. Любое движение происходит по криволинейным траекториям. Я сейчас о небесных телах. А если говорить о космических аппаратах, то тут та же история. Любой космический аппарат стартует из зоны гравитационного влияния крупных материальных тел. Именно потому, что небесные тела влияют на траекторию движения космических аппаратов, траектории КА не будут прямолинейными, а будут криволинейными. Нет в бескрайнем космосе прямых дорог.

Это известно еще с первых моментов становления космонавтики, как науки. В математике семейство этих кривых называют одним общим термином: кривые второго порядка. Это эллипс (с частным случаем - окружностью), это парабола и гипербола. Они описываются единым уравнением при разных значениях дополнительных параметров. Как только КА попадает в зону влияния очередного небесного тела, его траектория в очередной раз искривляется, меняется на другую. И от скорости КА и близости его прохождения зависит: он упадет на небесное тело, останется на его орбите или пролетит мимо дальше, изменив направление.