Олимпиада по физике: два одинаковых ящика наполнены дробью. Как решить?

Пусть диаметр крупной дроби-Д.

Диаметр мелкой дроби-д.

И, например, Д=2д.

Тогда в кубе со стороной Д будет 1 дробь с диаметром Д или 8 дробей с диаметром д.

Посчитаем объем :

V1=(4/3)'(nR^3)

V2=8*(4/3)*(nr^3)

Зднсь R=2r

Найдем отношение V2/V1=

=8*((1/2)^3)=1.

Отсюда следует что вес дроби будет одинаков, ну хотя бы, приблизительно.

Если уж сравнивать очень крупную дробь с дробью размером с песчинку, то может быть, что дробь с песчинку, точнее ящик с такой дробью будет тяжелее на доли процента( хотя кто это выяснит?) ящика с крупной дробью.

Такие задачи можно решать используя понятие средней плотности. Пусть масса первого ящика m1, а второго - m2. Тогда средняя плотность дроби в первом ящике будет p1=m1/V, а во втором - p2=m2/V, где V объем каждого ящика. Поэтому нужно просто сравнить эти ср. плотности.

Далее проведем эксперимент, будем постепенно сыпать мелкую дробь в ящик с крупной дробью, какая-то часть дроби обязательно "войдет" в этот ящик. Пусть это будет к-ая часть. Значит масса первого ящика на k*m2, а средняя плотность увеличится на к*р2, очевидно, что к меньше 1 (если к=1, то очевидно, что масса ящика с мелкой дробью больше.

Если же теперь понемногу убирать из этого ящика крупную дробь и добавлять мелкую, в какой-то момент вся мелкая дробь будет в первом ящике и там окажется какая-то часть крупной дроби. Очевидно, что масса ящика в этом случае будет больше массы m2, например равной n*m2, значит средняя плотность мелкой дроби больше, и масса ящика с мелкой дробью больше. Кажется такой вариант ответа верным. Но с другой стороны, если мы уберем все крупные дроби, то в этот ящик войдет больше мелких дробей, чем в такой же ящик. Противоречие. Значит наше предположение о том, что масса одного из ящиков больше неверно, ответ: масса ящиков одинаковая.

Если бы ящики имели бесконечно большой размер, их вес действительно был бы одинаковым, потому что средняя плотность заполнения была бы одной и той же - примерно 74% (пи делить на три корня из 2). Но дьявол, как обычно, в деталях.

Возьмём предельный случай: крупная дробь настолько крупная, что в ящик помечается лишь одна дробина (ядро, по сути), причём так, что для второй дробины места не хватает ну совсем чуть-чуть. И тогда свободный объём ящика будет практически 50%. А вот для мелкой дроби свободный объём по-прежнему будет таким же, как и для плотного заполнения, то есть канонические 74%. Поэтому ящик с мелкой дробью в общем случае будет тяжелее ящика с крупной дробью.

Дробь круглая, ящики прямоугольные, но достаточно большие по сравнению с дробью, чтобы их можно было условно разделить на маленькие кубики, внутри каждого помещается ровно одна дробинка. Соотношение объемов куба и вписанной сферы - константа.

Вывод из этого рассуждения: в одинаковых ящиках поместится равное весовое количество круглой (шарообразной) свинцовой дроби, независимо от её размеров (соответствующих размерам дроби, а не пушечных ядер, например).

Ну, подумайте, ведь килограмм гвоздей весит ничуть не больше, чем килограмм пуха.

Ответ: вес дроби в обоих ящиках одинаков.

С мелкой дробью, разумеется будет тяжелее. Меньше пустого пространства между дробинами. Хотя, возможны варианты. От размера дроби зависит и от размеров ящика.

Предположим, что это дробь свинцовая (Pb).

Пусть в одном ящике имеется дробь размером с молекулу свинца, а в другом ящике - дробь размером с атом свинца. Ясное дело, что одна дробь будет крупнее другой, однако, масса ящиков будет при этом одинакова.