Что мы оплачиваем в такси, самолете-путь или перемещение?

В такси - однозначно путь. Потому что там плата по счётчику, а он тупо километры считает. Даже если вы попросите по кольцу прокатиться, с возвращением в исходную точку, - он всё равно свои 10 копеек на км (или сколько там сейчас полагается...) насчитает.

В Яндекс.Такси и аналогичных сервисах с предварительным вычислением стоимости поездки схема вычисления оплаты можно несколько отличаться, но всё рвно будет исходить из пройденного пути.

В самолёте - ни то ни другое, но скорее перемещение. В цене авиабилета львиную долю составляют затраты, не связанные или мало связанные с километражем. Зарплата экипажа, аэропортовые сборы, страховые сборы, амортизация воздушного судна... Это особенно заметно, если маршрут включает пересадки. Цена билета, да, зависит от того, сколько их и где, но не сильно зависит. И порой разница в "чистой" длине маршрута выливается лишь в 10-15% разницы в цене.

Если исходить из того, что перемещение - это вектор, соединяющий начальное и конечное положение, а путь - длина траектории, то есть численное выражение кривой по которой движемся, то логично предположить, что оплачиваем мы именно путь.

Ведь если движение не по прямой, то путь будет больше перемещения.

К тому же, если во время поездки мы вернёмся в начальное положение, ну в место из которого выезжали, то перемещение и вовсе будет равно нулю. Выходит и оплачивать нечего. Было бы здорово, конечно, для пассажира. Но как-то нечестно.

В общем, в такси, самолете мы оплачиваем именно путь.

Путь, ну, если б мы платили за перемещение можно было бы крутить бензин бесплатно, если правильно продумать путь.